3 в разных степенях. Возведение в степень. Операции с корнями
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .
На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.
Линейная функция y=x 1 (y=x)
График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.
График представлен ниже.
Основные свойства линейной функции:
- Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
- Не имеет максимального и минимального значений.
Квадратичная функция y=x 2
Графиком квадратичной функции является парабола.
Основные свойства квадратичной функции:
- 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
- 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
- 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , синус которого равен а.
arcsin (- a )=- arcsin a .
Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка , косинус которого равен а.
arccos (-a)= π – arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.
arctg (- a )=- arctg a .
Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.
arcctg (-a)= π – arcctg a.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Общие формулы.
1) sin t=a, 0
2) sin t = — a, 0
3) cos t=a, 0
4) cos t =-a, 0
5) tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ;
6) tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ;
7) ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ;
8) ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ.
Частные формулы.
1) sin t =0, тогда t=πn, nϵZ;
2) sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ;
3) sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ;
4) cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ;
5) cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ;
6) cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ;
7) tg t =0, тогда t = πn, nϵZ;
8) ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ.
Решение простейших тригонометрических неравенств.
1) sint
2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn
3) cost
4) cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn
5) tgt
6) tgt>a, arctga+πn
7) ctgt
8) ctgt>a, πn
Прямая на плоскости.
- Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0.
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b (k – угловой коэффициент).
- Острый угол между прямыми y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 определяется по формуле:
- k 1 =k 2 — условие параллельности прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2.
- Условие перпендикулярности этих же прямых:
- Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k, и проходящей
через точку М(х 1 ; у 1), имеет вид: у-у 1 =k (х-х 1).
- Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х 1; у 1) и (х 2 ; у 2) имеет вид:
- Длина отрезка М 1 М 2 с концами в точках М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):
- Координаты точки М(х о; у о) – середины отрезка М 1 М 2
- Координаты точки С(х; у), делящей в заданном отношении λ отрезок М 1 М 2 между точками М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):
- Расстояние от точки М(х о; у о) до прямой ax+by+c=0:
Уравнение окружности.
- Окружность с центром в начале координат: x 2 +y 2 =r 2 , r – радиус окружности.
- Окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .
Пределы.
Преобразование (конструирование) графиков функций.
- График функцииy =- f (x ) получается из графика функции y=f (x) зеркальным отражением от оси абсцисс.
- График функции y =| f (x )| получается зеркальным отражением от оси абсцисс той части графика функции y=f (x), которая лежит ниже оси абсцисс.
- График функции y = f (| x |) получается из графика функции y=f (x) следующим образом: оставляют часть графика справа от оси ординат и отображают эту же часть симметрично ей самой относительно оси ординат.
- График функцииy = A ∙ f (x ) получается из графика функции y=f (x) растяжением в А раз вдоль оси ординат. (Ордината каждой точки графика функции y=f (x) умножается на число А).
- График функции y
=
f
(k
∙
x
)
получается из графика функции y=f (x) сжатием в k раз при k>1 или растяжением в k раз при 0
- График функции y = f (x- m ) получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на m единичных отрезков вдоль оси абсцисс.
- График функции y = f (x )+ n получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на n единичных отрезков вдоль оси ординат.
Периодическая функция.
- Функцию f называют периодической функцией с периодом Т≠0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках x , T- x и T + x равны, т. е. выполняется равенство: f (x )= f (T- x )= f (T + x )
- Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y = A· f (k ∙ x + b ), гдеA , k и b постоянны, а k ≠0 , также периодична, причем, ее период равен T /| k |.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
- Функцию вида y=a x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией .
- Область определения показательной функции: D (y)=R - множество всех действительных чисел .
- Область значений показательной функции: E (y)=R + -множество всех положительных чисел .
- Показательная функция y=a x возрастает при a>1 .
- Показательная функция y=a x убывает при 0.
Справедливы все свойства степенной функции :
- а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
- а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.
- a x ∙a y =a x + y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
- a x :a y =a x- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
- (a x ) y =a xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
- (a∙b) x =a x ∙b y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
- (a/b) x =a x /b y При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
- а -х =1/a x
- (a/b) -x =(b/a) x .
Логарифмом числа b по основанию а (log a b ) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b .
log a b = n , если a n = b . Примеры: 1) log 2 8=3 , т. к. 2 3 =8;
2) log 5 (1/25)=-2 , т. к. 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log 7 1=0 , т. к. 7 0 =1.
Под знаком логарифма могут быть только положительные числа , причем, основание логарифма — число а≠1 . Значением логарифма может быть любое число.
Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n ), то, возводя в эту степень число а , получим число b .
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».
lg 7 =log 10 7,lg 7 – десятичный логарифм числа 7.
Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.
ln7 =log e 7, ln 7 – натуральный логарифм числа 7.
Свойства логарифмов справедливы для логарифмов по любому основанию.
log a 1=0 Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1).
log a a =1 Логарифм числа а по основанию а равен единице (a>0, a≠1).
log a (x∙y)=log a x+log a y
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
log a (x / y )= log a x — log a y
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
log a b=log c b/log c a
Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .
log a b k = k ∙ log a b Логарифм степени (b k ) равен произведению показателя степени (k ) на логарифм основания (b ) этой степени.
log a n b =(1/ n )∙ log a b Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .
log a n b k =(k / n )∙ log a b Формула является комбинацией двух предыдущих формул.
log a r b r =log a b или log a b = log a r b r
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.
- Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)=f (x).
- Любая первообразная для функции f (x) на заданном промежутке может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)– одна из первообразных для функции f (x), а С – произвольная постоянная.
- Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f (x) dx, где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
1) (∫f (x) dx)"=f (x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;
4) ∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C;
5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;
6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.
Таблица интегралов.
Объем тела вращения.
Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11 вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.
Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать - Успешной вам учебы, друзья!