3 dažādās pakāpēs. Paaugstināšana. Darbības ar saknēm

Pakāpju formulas izmanto sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti to rādītāji:

a m·a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti:

3. 2 vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:

(a/b) n = a n/b n .

5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:

(a m) n = a m n .

Katra iepriekš minētā formula ir patiesa virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Darbības ar saknēm.

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:

3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar radikālo skaitli palielināt līdz šai pakāpei:

4. Ja palielināsit saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā iekļauties n th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja samazina saknes pakāpi n vienlaikus izvelciet sakni n-radikāla skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:

Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa pakāpju ar nepozitīvu (veselu) eksponentu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar nepozitīvā eksponenta absolūto vērtību:

Formula a m:a n =a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī ar m< n.

Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Uz formulu a m:a n =a m - n kļuva godīgs, kad m=n, ir nepieciešama nulles grādu klātbūtne.

Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav vienāds ar nulli ar nulles eksponentu, jauda ir vienāda ar vienu.

Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe A.

Dodieties uz mūsu vietnes youtube kanālu, lai būtu informēts par visām jaunajām video nodarbībām.

Vispirms atcerēsimies pilnvaru pamatformulas un to īpašības.

Skaitļa reizinājums a notiek uz sevi n reizes, mēs varam rakstīt šo izteiksmi kā a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Jaudas vai eksponenciālie vienādojumi– tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir pakāpēs (vai eksponentos), un bāze ir skaitlis.

Eksponenciālo vienādojumu piemēri:

Šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze; tas vienmēr atrodas apakšā un mainīgais x grāds vai rādītājs.

Sniegsim vairāk eksponenciālo vienādojumu piemēru.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?

Ņemsim vienkāršu vienādojumu:

2 x = 2 3

Šo piemēru var atrisināt pat jūsu galvā. Var redzēt, ka x=3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienādas, x vietā jāievieto skaitlis 3.
Tagad apskatīsim, kā formalizēt šo lēmumu:

2 x = 2 3
x = 3

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, mēs noņēmām identisks pamatojums(tas ir, divnieki) un pierakstīja, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām atbildi, ko meklējām.

Tagad apkoposim savu lēmumu.

Algoritms eksponenciālā vienādojuma risināšanai:
1. Nepieciešams pārbaudīt tas pats vai vienādojumam ir pamati labajā un kreisajā pusē. Ja iemesli nav vienādi, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad bāzes kļūst vienādas, pielīdzināt grādiem un atrisiniet iegūto jauno vienādojumu.

Tagad apskatīsim dažus piemērus:

Sāksim ar kaut ko vienkāršu.

Pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas ar skaitli 2, kas nozīmē, ka mēs varam atmest pamatni un pielīdzināt to spēkus.

x+2=4 Iegūst vienkāršāko vienādojumu.
x=4–2
x=2
Atbilde: x=2

Nākamajā piemērā var redzēt, ka bāzes atšķiras: 3 un 9.

3 3 x — 9 x+8 = 0

Pirmkārt, pārvietojiet deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:

Tagad jums ir jāizveido tās pašas pamatnes. Mēs zinām, ka 9 = 3 2. Izmantosim jaudas formulu (a n) m = a nm.

3 3 x = (3 2) x+8

Mēs iegūstam 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Tagad ir skaidrs, ka kreisajā un labajā pusē bāzes ir vienādas un vienādas ar trīs, kas nozīmē, ka mēs varam tās atmest un pielīdzināt pakāpes.

3x=2x+16 iegūstam vienkāršāko vienādojumu
3x - 2x = 16
x=16
Atbilde: x=16.

Apskatīsim šādu piemēru:

2 2 x+4 — 10 4 x = 2 4

Pirmkārt, mēs aplūkojam pamatnes, otrās un ceturtās bāzes. Un mums vajag, lai tie būtu vienādi. Mēs pārveidojam četrus, izmantojot formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Un mēs arī izmantojam vienu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pievienojiet vienādojumam:

2 2 x 2 4 — 10 2 2 x = 24

To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Bet mums traucē citi cipari 10 un 24. Ko ar tiem darīt? Ja paskatās vērīgi, var redzēt, ka kreisajā pusē mums ir 2 2x atkārtojumi, šeit ir atbilde - mēs varam likt 2 2x no iekavām:

2 2 x (2 4–10) = 24

Aprēķināsim izteiksmi iekavās:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Mēs dalām visu vienādojumu ar 6:

Iedomāsimies 4=2 2:

2 2x = 2 2 bāzes ir vienādas, mēs tās atmetam un vienādojam pakāpes.
2x = 2 ir vienkāršākais vienādojums. Sadaliet to ar 2 un iegūstam
x = 1
Atbilde: x = 1.

Atrisināsim vienādojumu:

9 x – 12*3 x +27 = 0

Pārveidosim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsu bāzes ir vienādas, vienādas ar trīs. Šajā piemērā var redzēt, ka pirmajiem trim ir grāds divreiz (2x) nekā otrajam (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat atrisināt aizstāšanas metode. Skaitli aizstājam ar mazāko pakāpi:

Tad 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Mēs aizvietojam visus x spēkus vienādojumā ar t:

t 2 — 12t+27 = 0
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu. Atrisinot, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Atgriežoties pie mainīgā x.

Ņem t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Tas ir,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro no t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atbilde: x 1 = 2; x 2 = 1.

Mājaslapā varat uzdot visus sev interesējošos jautājumus sadaļā PALĪDZĪBA LĒMĒT, mēs noteikti jums atbildēsim.

Pievienojies grupai

Jaudas funkciju sauc par funkciju y=x n (lasīt kā y ir vienāds ar x ar n pakāpju), kur n ir kāds dots skaitlis. Īpaši jaudas funkciju gadījumi ir funkcijas, kuru forma ir y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x un daudzas citas. Pastāstīsim vairāk par katru no tiem.

Lineāra funkcija y=x 1 (y=x)

Grafiks ir taisna līnija, kas iet caur punktu (0;0) 45 grādu leņķī pret Ox ass pozitīvo virzienu.

Grafiks ir parādīts zemāk.

Lineārās funkcijas pamatīpašības:

• Funkcija palielinās un definēta visā skaitļu rindā.
• Tam nav maksimālās vai minimālās vērtības.

Kvadrātfunkcija y=x 2

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Kvadrātfunkcijas pamatīpašības:

• 1. Ja x =0, y=0 un y>0 pie x0
• 2. Kvadrātfunkcija sasniedz savu minimālo vērtību savā virsotnē. Ymin pie x=0; Jāņem vērā arī tas, ka funkcijai nav maksimālās vērtības.
• 3. Funkcija samazinās uz intervāla (-∞;0] un palielinās uz intervāla, kura sinuss ir vienāds ar a.

  arcsin(- a)=- arcsina.

  Skaitļa arkosinuss (arccos a) ir leņķis no intervāla, kura kosinuss ir vienāds ar a.

  arccos(-a)=π – arccosa.

  Skaitļa a arktangenss (arctg a) ir leņķis no intervāla (-π/2; π/2), kura tangenss ir vienāds ar a.

  arctg(- a)=- arctga.

  Skaitļa a arkotangenss (arcctg a) ir leņķis no intervāla (0; π), kura kotangenss ir vienāds ar a.

  arcctg(-a)=π – arcctg a.

  Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana.

  Vispārīgās formulas.

  1) sin t=a, 0

  2) sin t = - a, 0

  3) cos t=a, 0

  4) cos t =-a, 0

  5) tg t =a, a>0, tad t=arctg a + πn, nϵZ;

  6) tg t =-a, a>0, tad t= - arctg a + πn, nϵZ;

  7) ctg t=a, a>0, tad t=arcctg a + πn, nϵZ;

  8) ctg t= -a, a>0, tad t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

  Īpašas formulas.

  1) sin t =0, tad t=πn, nϵZ;

  2) sin t=1, tad t= π/2 +2πn, nϵZ;

  3) sin t= -1, tad t= — π/2 +2πn, nϵZ;

  4) cos t=0, tad t= π/2+ πn, nϵZ;

  5) cos t=1, tad t=2πn, nϵZ;

  6) cos t=1, tad t=π +2πn, nϵZ;

  7) tg t =0, tad t = πn, nϵZ;

  8) cot t=0, tad t = π/2+πn, nϵZ.

  Vienkāršu trigonometrisko nevienādību atrisināšana.

  1) grēks

  2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

  3) izmaksas

  4) izmaksas>a (|a|<1), -arccosa+2πn

  5) tgt

  6) tgt>a, arctga+πn

  7) ctgt

  8) ctgt>a, πn

  Taisni lidmašīnā.

  • Vispārīgais taisnes vienādojums ir: Ax+By+C=0.
  • Taisnes ar leņķa koeficientu vienādojums: y=kx+b (k – leņķiskais koeficients).
  • Akūto leņķi starp līnijām y=k 1 x+b 1 un y=k 2 x+b 2 nosaka pēc formulas:

  

  • k 1 =k 2 - taisnes y=k 1 x+b 1 un y=k 2 x+b 2 paralēlisma nosacījums.
  • Šo pašu līniju perpendikulitātes nosacījums:
  • Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu k un iet cauri

  caur punktu M(x 1; y 1), ir šāda forma: y-y 1 =k (x-x 1).

  • Taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem (x 1; y 1) un (x 2; y 2), ir šāda forma:

  

  • Nozares garums M 1 M 2 ar galiem punktos M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2):
  • Punkta M(x o; y o) koordinātas - nogriežņa vidusdaļa M 1 M 2

  

  • Punkta C(x; y) koordinātas, kas ar noteiktu attiecību λ sadala nogriezni M 1 M 2 starp punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2):

  

  • Attālums no punkta M(x o; y o) līdz taisnei ax+by+c=0:

  Apļa vienādojums.

  • Aplis ar centru sākuma punktā: x 2 +y 2 =r 2, r – riņķa rādiuss.
  • Aplis ar centru punktā (a; b) un rādiuss r: (x-a) 2 + (y-b) 2 =r 2.

  Ierobežojumi.

  Funkciju grafiku transformācija (konstruēšana).

  • Funkcijas grafiks y=- f(x) tiek iegūts no funkcijas y=f (x) grafika ar spoguļatstarošanos no abscisu ass.
  • Funkcijas grafiks y=| f(x)| tiek iegūts ar spoguļatstarošanos no tās funkcijas y=f (x) diagrammas daļas abscisu ass, kas atrodas zem abscisu ass.
  • Funkcijas grafiks y= f(| x|) tiek iegūts no funkcijas y=f (x) grafika šādi: daļu grafika atstāj pa labi no ordinātu ass un attēlo to pašu daļu sev simetriski attiecībā pret ordinātu asi.
  • Funkcijas grafiks y= A∙ f(x) kas iegūts no funkcijas y=f (x) grafika, izstiepjot A reizes gar ordinātu. (Katra punkta ordinātu funkcijas y=f (x) grafikā reizina ar skaitli A).
  • Funkcijas grafiks y= f(k∙ x) iegūts no funkcijas y=f (x) grafika, saspiežot k reizes pie k>1 vai izstiepjot k reizes pie 0
  • Funkcijas grafiks y= f(x-m) tiek iegūts no funkcijas y=f (x) grafika, paralēli tulkojot ar m vienības segmentiem pa abscisu asi.
  • Funkcijas grafiks y= f(x)+ n tiek iegūts no funkcijas y=f (x) grafika, paralēli pārvēršot par n vienības segmentiem pa ordinātu asi.

  Periodiska funkcija.

  • Funkcija f sauc par periodisku funkciju ar periodu T≠0, ja jebkuram x no definīcijas domēna šīs funkcijas vērtības punktos x, T-xUnT+ x ir vienādi, t.i., vienlīdzība ir spēkā : f(x)= f(T-x)= f(T+ x)
  • Ja funkcija f periodisks un tam ir periods T, tad funkcija y= A·f(k∙ x+ b), Kur A, k Un b ir nemainīgi un k≠0 , ir arī periodisks, un tā periods ir vienāds ar T/| k|.

  

  Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad pēdējam ir tendence uz nulli, sauc par funkcijas atvasinājumu noteiktā punktā:

  

  • Funkcija formā y=a x, kur a>0, a≠1, x ir jebkurš skaitlis, tiek izsaukts eksponenciālā funkcija.
  • Domēns eksponenciāla funkcija: D (y)= R - visu reālo skaitļu kopa.
  • Vērtību diapazons eksponenciālā funkcija: E (y)= R+-visu pozitīvo skaitļu kopa.
  • Eksponenciālā funkcija y=a x palielinās, ja a>1.
  • Eksponenciālā funkcija y=a x samazinās pie 0 .

  Visas jaudas funkcijas īpašības ir derīgas :

  • un 0 =1 Jebkurš skaitlis (izņemot nulli) līdz nullei ir vienāds ar vienu.
  • a 1 =a Jebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi.
  • a x∙ay=ax + y Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga un eksponenti tiek pievienoti.
  • a x:ay=ax-y Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.
  • (ax) y=axy Paaugstinot jaudu līdz pakāpei, bāze paliek nemainīga un eksponenti tiek reizināti
  • (a∙b)x=ax∙by Paaugstinot produktu līdz jaudu, katrs no faktoriem tiek paaugstināts līdz šai pakāpei.
  • (a/b)x=ax/by Kad daļskaitlis tiek palielināts līdz pakāpei, gan daļskaitļa skaitītājs, gan saucējs tiek palielināts līdz šai pakāpei.
  • a -x = 1/ax
  • (a/b)-x=(b/a)x.

  Skaitļa logaritms b balstoties uz A (log a b) sauc par eksponentu, līdz kuram jāpalielina skaitlis A lai iegūtu numuru b.

  log a b= n, Ja a n= b. Piemēri: 1)log 2 8= 3 , jo 2 3 =8;

  2) log 5 (1/25)= -2 , jo 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3)log 7 1= 0 , jo 7 0 =1.

  Zem logaritma zīmes var būt tikai pozitīvi skaitļi, un logaritma bāze ir skaitlis a≠1. Logaritma vērtība var būt jebkurš skaitlis.

  

  Šī identitāte izriet no logaritma definīcijas: tā kā logaritms ir eksponents ( n), pēc tam paaugstinot skaitli līdz šai pakāpei A, mēs saņemam numuru b.

  Logaritms līdz bāzei 10 tiek saukts par decimālo logaritmu, un, rakstot, vārda "log" rakstībā tiek izlaists 10. bāze un burts "o".

  lg7 =log 10 7, lg7 – skaitļa 7 decimāllogaritms.

  Logaritms līdz bāzei e(Nepera skaitlis e≈2,7) tiek saukts par naturālo logaritmu.

  ln7 =log e 7, ln7 – skaitļa 7 naturālais logaritms.

  Logaritmu īpašības derīgs jebkuras bāzes logaritmiem.

  žurnāls a1=0 Vienības logaritms ir nulle (a>0, a≠1).

  log a a=1 Skaitļa logaritms A balstoties uz A vienāds ar vienu (a>0, a≠1).

  log a (x∙y)=log a x+log a y

  Produkta logaritms ir vienāds ar faktoru logaritmu summu.

  žurnāls a(x/ y)= piesakies x— log a y

  Koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja logaritmiem.

  log a b=log c b/log c a

  Skaitļa logaritms b balstoties uz A vienāds ar skaitļa logaritmu b uz jauna pamata Ar, dalīts ar vecās bāzes logaritmu A uz jauna pamata Ar.

  log a b k= k∙ log a b Jaudas logaritms ( b k) ir vienāds ar eksponenta ( k) pēc bāzes logaritma ( b) šīs pakāpes.

  log a n b=(1/ n)∙ log a b Skaitļa logaritms b balstoties uz a n vienāds ar frakcijas reizinājumu 1/ n uz skaitļa logaritmu b balstoties uz a.

  log a n b k=(k/ n)∙ log a b Formula ir divu iepriekšējo formulu kombinācija.

  log a r b r =log a b vai log a b= log a r b r

  Logaritma vērtība nemainīsies, ja logaritma bāze un skaitlis zem logaritma zīmes tiks paaugstināti vienā pakāpē.

  • Funkciju F (x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f (x) noteiktā intervālā, ja visiem x no šī intervāla F"(x)=f (x).
  • Jebkuru funkcijas f (x) antiatvasinājumu noteiktā intervālā var ierakstīt formā F (x) + C, kur F (x) ir viens no funkcijas f (x) antiatvasinājumiem, un C ir patvaļīga konstante. .
  • Visu funkcijas f (x) antiatvasinājumu kopu F (x) + C aplūkotajā intervālā sauc par nenoteikto integrāli un apzīmē ar ∫f (x) dx, kur f (x) ir integrands, f (x) ) dx ir integrands, x ir mainīgā integrācija.

  1) (∫f (x) dx)"=f (x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;

  4) ∫dF (x) dx=F (x)+C vai ∫F"(x) dx=F (x)+C;

  5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

  6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.

  Integrāļu tabula.

  

  

  

  Revolūcijas ķermeņa apjoms.

  

  Cienījamie manas vietnes viesi, visi matemātikas pamatformulas 7.-11 to var iegūt (pilnīgi bez maksas), noklikšķinot uz saites.

  Kopumā ir 431 formula gan algebrā, gan ģeometrijā. Iesaku izdrukāt iegūto pdf failu grāmatas veidā. Kā to izdarīt - Veiksmīgas mācības, draugi!

  mājas » Čūla » 3 dažādās pakāpēs. Paaugstināšana. Darbības ar saknēm