Тең қабырғалы үшбұрышты табу формуласы. Үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады (формулалар)

Баласына үй тапсырмасын орындауға көмектесу үшін ата-ананың өзі көп нәрсені білуі керек. Тең бүйірлі үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады, септік жалғаулы сөйлем мүшелік сөйлемнен несімен ерекшеленеді, ауырлық күшінің үдеуі қандай?

Сіздің ұлыңыздың немесе қызыңыздың осы сұрақтардың кез келгеніне қатысты проблемалар болуы мүмкін және олар сізге түсініктеме алу үшін жүгінеді. Балалардың көз алдында өз беделіңізді сақтап қалмау үшін мектеп бағдарламасының кейбір элементтерін мұқият зерттеген жөн.

Мысал ретінде тең қабырғалы үшбұрыш мәселесін алайық. Мектептегі геометрия көптеген адамдар үшін қиын, ал мектептен кейін ол тез ұмытылады.

Бірақ сіздің балаларыңыз 8-сыныпқа келгенде геометриялық пішіндерге қатысты формулаларды есте сақтауыңыз керек. Тең қабырғалы үшбұрыш - оның параметрлерін табу тұрғысынан ең қарапайым фигуралардың бірі.

Бір кездері үшбұрыштар туралы үйреткендердің бәрі ұмытылса, есімізге түсірейік. Тең қабырғалы үшбұрыш – екі қабырғасының ұзындығы бірдей болатын үшбұрыш. Бұл тең қырлар тең қабырғалы үшбұрыштың бүйір қабырғалары деп аталады. Үшінші жағы - оның негізі.

Барлық 3 жағы тең болатын опция бар. Оны тең қабырғалы үшбұрыш деп атайды. Тең қабырғасына қолданылатын барлық формулалар оған қолданылады және қажет болған жағдайда оның кез келген жағын негіз деп атауға болады.

Ауданды табу үшін негізді екіге бөлу керек. Қабырғаларды қосатын шыңнан алынған нүктеге түскен түзу негізді тік бұрышпен қиып өтеді.

Бұл осындай үшбұрыштардың қасиеті: медиана, яғни тең қабырғалы үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасының ортасына дейінгі түзу оның биссектрисасы (бұрышты екіге бөлетін түзу) және биіктігі (перпендикуляр) болып табылады. қарсы жаққа).

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табу үшін оның биіктігін табанына көбейту керек, содан кейін бұл көбейтіндіні екіге бөлу керек.

Үшбұрыштың ауданын табу үшін формула қарапайым: S=ah/2, мұндағы a – табанының ұзындығы, h – биіктігі.

Мұны келесідей анық түсіндіруге болады. Қағаздан ұқсас пішінді кесіңіз, негіздің ортасын табыңыз, осы нүктеге биіктік сызыңыз және осы биіктіктің бойымен мұқият кесіңіз. Сіз екі тікбұрышты үшбұрыш аласыз.

Егер оларды гипотенузаларымен (ұзын қабырғалары) бір-бірінің қасына орналастырсақ, бір қабырғасы фигураның биіктігіне, ал екіншісі табанының жартысына тең болатын тіктөртбұрыш жасаймыз. Яғни, формула бекітілетін болады.

Көрнекі демонстрация өте маңызды. Егер сіздің балаңыз формулаларды ессіз жаттауды емес, олардың мағынасын түсінуді үйренсе, геометрия енді оған қиын пән болып көрінбейді.

Сыныптағы ең жақсы оқушы жаттанды оқушы емес, ойлайтын, ең бастысы түсінетін оқушы.

Бір бұрышы дұрыс болса, фигураның ауданын қалай табуға болады?

Берілген үшбұрышты фигураның қабырғаларының арасындағы бұрыш 90° болып шығуы мүмкін. Сонда бұл үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш, оның қабырғалары катеттері, ал табаны гипотенуза деп аталады.

Мұндай фигураның ауданын жоғарыдағы әдіспен есептеуге болады (гипотенузаның ортасын табыңыз, оған биіктікті сызыңыз, оны гипотенузаға көбейтіңіз, оны екіге бөліңіз). Бірақ мәселені әлдеқайда оңай шешуге болады.

Түсіндіруден бастайық. Оң жақ тең қабырғалы үшбұрыш диагональ бойынша кесілгенде дәл жарты шаршы болады. Ал егер шаршының ауданы оның қабырғасын екінші дәрежеге көтеру арқылы табылса, онда бізге қажет фигураның ауданы екі есе үлкен болады.

S=a 2 /2, мұндағы a - аяқтың ұзындығы.

Тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың ауданы оның қабырғасының квадратының жартысына тең. Мәселе бір қарағанда күрделі емес болып шықты.

Геометриялық есептерді шешу адамнан тыс күш-жігерді қажет етпейді және тек балаларға ғана емес, сонымен қатар кез келген практикалық сұрақтарға жауап тапқан кезде сізге де пайдалы болуы мүмкін.

Геометрия - нақты ғылым. Егер сіз оның негіздеріне тереңірек үңілсеңіз, онымен қиындықтар аз болады және дәлелдердің логикасы сіздің балаңыз үшін өте қызықты болуы мүмкін. Тек оған аздап көмектесу керек. Қанша жақсы ұстаз алса да, ата-ананың көмегі артық болмайды.

Ал геометрияны оқып-үйрену жағдайында жоғарыда айтылған әдіс өте пайдалы болады - түсіндірудің анықтығы мен қарапайымдылығы.

Сонымен қатар, біз тұжырымдардың дәлдігі туралы ұмытпауымыз керек, әйтпесе біз бұл ғылымды шындығынан әлдеқайда күрделі ете аламыз.

Үшбұрыштың түріне байланысты оның ауданын табудың бірнеше нұсқасы бар. Мысалы, тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептеу үшін S= a * b / 2 формуласын пайдаланыңыз, мұндағы a және b оның катеттері. Егер сіз тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын білгіңіз келсе, онда оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісін екіге бөлу керек. Яғни, S= b*h / 2, мұндағы b – үшбұрыштың табаны, h – биіктігі.

Әрі қарай, тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептеу қажет болуы мүмкін. Мұнда келесі формула құтқаруға келеді: S = a* a / 2, мұнда «a» және «a» аяқтары міндетті түрде бірдей мәндерге ие болуы керек.

Сондай-ақ, біз жиі теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын есептеуге тура келеді. Ол мына формула бойынша табылады: S= a * h/ 2, мұндағы a – үшбұрыштың қабырғасы, h – биіктігі. Немесе мына формула бойынша: S= √3/ 4 *a^2, мұндағы a - жағы.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын табу керек пе, бірақ мәселенің тұжырымы оның екі катетінің өлшемдерін көрсетпейді? Сонда біз бұл формуланы (S= a * b / 2) тікелей пайдалана алмаймыз.

Бірнеше ықтимал шешімдерді қарастырайық:

• Егер сіз бір аяқтың ұзындығын білмесеңіз, бірақ гипотенузаның және екінші катеттің өлшемдері берілген болса, онда біз ұлы Пифагорға жүгінеміз және оның теоремасын пайдалана отырып (a^2+b^2=c^2), біз белгісіз катеттің ұзындығын есептейміз, содан кейін оны үшбұрыштың ауданын есептеу үшін қолданамыз.
• Бір катеттің ұзындығы және оған қарама-қарсы бұрыштың градустық еңісі берілсе: екінші катеттің ұзындығын – a=b*ctg(C) формуласы арқылы табамыз.
• Берілген: бір катеттің ұзындығы және оған іргелес бұрыштың градустық еңісі: екінші катеттің ұзындығын табу үшін – a=b*tg(C) формуласын қолданамыз.
• Және, ең соңында, берілген: гипотенузаның бұрышы мен ұзындығы: біз оның екі катетінің ұзындығын келесі формулалар арқылы есептейміз - b=c*sin(C) және a=c*cos(C).

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Тең бүйірлі үшбұрыштың ауданын S= b*h / 2 формуласы арқылы өте оңай және тез табуға болады, бірақ егер көрсеткіштердің бірі жоқ болса, тапсырма әлдеқайда күрделене түседі. Өйткені, қосымша әрекеттерді орындау керек.

Мүмкін тапсырма опциялары:

• Берілген: бір жақтың ұзындығы және негіздің ұзындығы. Пифагор теоремасын пайдалана отырып, биіктігін, яғни екінші аяқтың ұзындығын табамыз. Екіге бөлінген табан ұзындығы аяқ, ал бастапқы белгілі жағы гипотенуза болған жағдайда.
• Берілген: негіз және бүйір мен негіз арасындағы бұрыш. Биіктікті h=c*ctg(B)/2 формуласы арқылы есептейміз («c» жағын екіге бөлуді ұмытпаңыз).
• Берілген: табаны мен қабырғасы пайда болған биіктік пен бұрыш: биіктікті табу үшін c=h*tg(B)*2 формуласын қолданамыз және нәтижені екіге көбейтеміз. Әрі қарай ауданды есептейміз.
• Белгілі: бүйірдің ұзындығы және оның биіктігі мен оның арасында пайда болған бұрыш. Шешуі: табаны мен биіктігін табу үшін - c=a*sin(C)*2 және h=a*cos(C) формулаларын қолданамыз, содан кейін ауданды есептейміз.

Тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Егер барлық деректер белгілі болса, онда стандартты формула S= a* a / 2 көмегімен тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептейміз, бірақ егер есепте кейбір көрсеткіштер көрсетілмесе, қосымша әрекеттер орындалады.

Мысалы: біз екі қабырғасының ұзындықтарын білмейміз (тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышта олардың тең болатыны есімізде), бірақ гипотенузаның ұзындығы берілген. Бірдей «а» және «а» қабырғаларын табу үшін Пифагор теоремасын қолданайық. Пифагор формуласы: a^2+b^2=c^2. Тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыш жағдайында ол келесіге айналады: 2a^2 = c^2. «a» катетін табу үшін гипотенузаның ұзындығын 2 түбіріне бөлу керек екен. Шешімнің нәтижесі тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың екі катетінің ұзындығы болады. Әрі қарай ауданды табамыз.

Теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

S= √3/ 4*a^2 формуласын пайдаланып, теңбүйірлі үшбұрыштың ауданын оңай есептеуге болады. Егер үшбұрыштың шектелген шеңберінің радиусы белгілі болса, онда ауданды мына формула арқылы табуға болады: S= 3√3/ 4*R^2, мұндағы R – шеңбердің радиусы.

Параллелограмның ауданын қалай табуға болатынын табыңыз.Квадраттар мен тіктөртбұрыштар қарама-қарсы қабырғалары параллель болатын кез келген басқа төрт жақты фигура сияқты параллелограммдар болып табылады. Параллелограмның ауданы мына формула бойынша есептеледі: S = bh, мұндағы “b” – негіз (параллелограмның төменгі жағы), “h” – биіктік (жоғарыдан төменгі жағына дейінгі қашықтық; биіктік әрқашан негізді 90° бұрышпен қиып өтеді).

• Квадраттар мен тіктөртбұрыштарда биіктік жағына тең, өйткені қабырғалар үстіңгі және астыңғы жағын тік бұрышпен қиып өтеді.

1. Үшбұрыштар мен параллелограммдарды салыстыр.Бұл сандар арасында қарапайым байланыс бар. Кез келген параллелограмм диагональ бойынша кесілсе, сіз екі бірдей үшбұрыш аласыз. Сол сияқты, екі тең үшбұрышты қоссаңыз, параллелограмм шығады. Сондықтан кез келген үшбұрыштың ауданы мына формула бойынша есептеледі: S = ½бсағ, бұл параллелограммның жарты ауданы.

   Тең қабырғалы үшбұрыштың табанын табыңыз.Енді сіз үшбұрыштың ауданын есептеу формуласын білесіз; «Негізгі» және «биіктік» деген не екенін білу қалады. Негіз («b» деп белгіленген) басқа екі (тең) жағына тең емес жағы.

2. Негізге перпендикулярды төмендетіңіз.Мұны негізге қарама-қарсы орналасқан үшбұрыштың шыңынан жасаңыз. Перпендикуляр негізді тік бұрышпен қиып өтетінін есте сақтаңыз. Бұл перпендикуляр үшбұрыштың биіктігі («h» деп белгіленеді). Сіз «h» мәнін тапқаннан кейін үшбұрыштың ауданын есептей аласыз.

   • Тең қабырғалы үшбұрышта биіктік негізді дәл ортасында қиып өтеді.

3. Тең қабырғалы үшбұрыштың жартысын қараңыз.Биіктік тең қабырғалы үшбұрышты екі бірдей тікбұрышты үшбұрышқа бөлгенін ескеріңіз. Олардың біріне қарап, оның жақтарын табыңыз:

   • Қысқа жағы негіздің жартысына тең: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • Екінші жағы – «h» биіктігі.
   • Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы тең қабырғалы үшбұрыштың бүйір қабырғасы; оны «s» деп белгілейік.

4. Пифагор теоремасын қолданыңыз.Тік бұрышты үшбұрыштың екі қабырғасы белгілі болса, оның үшінші қабырғасын Пифагор теоремасы арқылы есептеуге болады: (1-ші қабырға) 2 + (2-ші қабырға) 2 = (гипотенуза) 2. Біздің мысалда Пифагор теоремасы былай жазылады: .

   • Сіз Пифагор теоремасын келесі белгілерде білетін шығарсыз: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Мысал айнымалылармен шатастырмау үшін 1 жағы, 2 жағы және гипотенуза сөздерін қолданамыз.

5. «h» мәнін есептеңіз.Есіңізде болсын, үшбұрыштың ауданын есептеу формуласында «b» және «h» айнымалылары бар, бірақ «h» мәні белгісіз. «h» есептеу үшін формуланы қайта жазыңыз:

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)^(2)+h^(2)=s^(2))
     h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. Формуладағы белгілі мәндерді ауыстырыңыз және «h» есептеңіз.Бұл формуланы қабырғалары белгілі кез келген тең қабырғалы үшбұрышқа қолдануға болады. «h» мәнін табу үшін «b» орнына негіздің мәнін, «s» жағының мәнін ауыстырыңыз.

   • Біздің мысалда: b = 6 см; s = 5 см.
   • Мәндерді формулаға ауыстырыңыз:
     h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)^(2))
     h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)^(2))
     h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     h = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
     h = 4 (\displaystyle h=4)см.

7. Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін негіз бен биіктік мәндерін формулаға қосыңыз.Формула: S = ½bh; Оған «b» және «h» мәндерін қойып, ауданды есептеңіз. Жауабыңызда шаршы бірліктерді жазуды ұмытпаңыз.

   • Біздің мысалда негізі 6 см, биіктігі 4 см.
   • S = ½бсағ
     S = ½(6 см)(4 см)
     S = 12 см 2.

8. Неғұрлым күрделі мысалды қарастырайық.Көп жағдайда сізге біздің мысалда талқыланған тапсырмадан гөрі қиынырақ тапсырма беріледі. Биіктікті есептеу үшін квадрат түбірін алу керек, ол әдетте толығымен қабылданбайды. Бұл жағдайда биіктік мәнін жеңілдетілген квадрат түбір ретінде жазыңыз. Міне, жаңа мысал:

   • Қабырғалары 8 см, 8 см, 4 см тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептеңдер.
   • «b» негізі үшін 4 см болатын жағын таңдаңыз.
   • Биіктігі: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • Квадрат түбірді көбейткіштерді пайдаланып оңайлатыңыз: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15. (\ displaystyle h = (\ sqrt (60)) = (\ sqrt (4 * 15)) = (\ sqrt (4)) (\ sqrt (15)) = 2 (\ sqrt (15)).)
   • С = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • Жауапты түбірмен жазуға немесе калькуляторда түбірді шығарып, жауапты ондық бөлшек түрінде жазуға болады (S ≈ 15,49 см 2).

Жоғарыдағы суреттегі қабырғалар мен бұрыштардың әріптік белгілері формулаларда көрсетілген белгілерге сәйкес келеді. Сондықтан бұл сізге оларды тең қабырғалы үшбұрыштың элементтерімен сәйкестендіруге көмектеседі. Есептің шарттарынан қандай элементтер белгілі екенін анықтап, сызбадағы белгілеулерін тауып, сәйкес формуланы таңдаңыз.

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданының формуласы

Төмендегілер тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табу формулалары: бүйірлер арқылы, бүйірлік және олардың арасындағы бұрыш арқылы, бүйірден, табан мен шыңдағы бұрыш арқылы, табанның бүйір жағынан және табандағы бұрыш арқылы және т.б. Сол жақтағы суреттен ең қолайлысын табыңыз. Ең қызық үшін оң жақтағы мәтін формуланың неліктен дұрыс екенін және оны ауданды табу үшін қалай дәл қолдануға болатынын түсіндіреді.

1. табуға болады оның қыры мен негізін білу. Бұл өрнек неғұрлым жалпы, әмбебап формуланы жеңілдету арқылы алынды. Егер Герон формуласын негізге алсақ, содан кейін үшбұрыштың екі қабырғасы бір-біріне тең екенін ескерсек, онда өрнек суретте келтірілген формулаға жеңілдейді.
   Мұндай формуланы қолдану мысалы төмендегі есепті шешу мысалында келтірілген.
2. Екінші формула оның ауданын табуға мүмкіндік береді жақтары және олардың арасындағы бұрыш арқылықабырғалар арасындағы бұрыштың синусына көбейтілген қабырғаның жарты квадраты
   Егер биіктікті тең қабырғалы үшбұрыштың бүйіріне ойша түсірсек, оның ұзындығы * sin β-ға тең болатынын байқаймыз. Бүйір жағының ұзындығы бізге белгілі болғандықтан, оған түсірілген биіктік енді белгілі, олардың көбейтіндісінің жартысы берілген тең қабырғалы үшбұрыштың ауданына тең болады (Түсіндіру: толық көбейтінді ауданын береді тіктөртбұрыш, бұл биіктік бұл тіктөртбұрышты екі кішкентай тіктөртбұрышқа бөледі, оның қабырғалары олардың диагональдары болып табылады, осылайша тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы тең болады бүйір жағы мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысы). Сондай-ақ Формула 5 қараңыз
3. Үшінші формула ауданды табуды көрсетеді бүйірлік, негіз және шың бұрышы арқылы.
   Дәлірек айтқанда, тең қабырғалы үшбұрыштың бұрыштарының бірін біле отырып, басқаларын табуға болады, сондықтан осы немесе алдыңғы формуланы пайдалану талғамға байланысты (айтпақшы, сондықтан сіз олардың біреуін ғана есте сақтай аласыз).
   Үшінші формуланың тағы бір қызықты ерекшелігі бар - өнім күнә αбізге негізге түсірілген биіктіктің ұзындығын береді. Нәтижесінде қарапайым және айқын 5 формуласын аламыз.
4. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданыда табуға болады негіздің бүйір жағынан және негіздегі бұрыш арқылы(негізіндегі бұрыштар тең) табанның квадраты, оның қабырғалары түзетін жарты бұрыштың төрт жанамасына бөлінген. Мұқият қарасаңыз, табанның жартысы (b/2) танға (β/2) көбейтіндісі үшбұрыштың биіктігін беретіні анық болады. Тең қабырғалы үшбұрыштағы биіктік бір уақытта биссектриса және медиана болғандықтан, tg(β/2) табанның жартысының (b/2) биіктікке қатынасы - tg(β/2) = (б/2)/сағ. Осыдан h = b / (2 тан(β/2)). Нәтижесінде формула қайтадан қарапайым Формула 5-ке қысқарады, бұл анық.
5. Әрине тең қабырғалы үшбұрыштың ауданыбиіктікті жоғарыдан негізге түсіру арқылы табуға болады, нәтижесінде екі тікбұрышты үшбұрыш пайда болады. Әрі қарай - бәрі анық. Биіктік пен негіздің жарты өніміжәне қажетті аумақ бар. Бұл формуланы пайдалану мысалы үшін төмендегі мәселені қараңыз (2-ші шешім әдісі)
6. Бұл формула тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табуға тырысқанда алынады Пифагор теоремасын қолдану. Ол үшін Пифагор теоремасы арқылы қабырғасы, табаны мен биіктігінің жартысы түзілген тікбұрышты үшбұрыштың катеті болып табылатын алдыңғы формуладан биіктікті өрнектейміз. Бүйір жағы - гипотенуза, сондықтан бүйір жағының квадратынан (а) екінші катеттің квадратын алып тастаймыз. Ол негіздің жартысына (b/2) тең болғандықтан, оның квадраты b 2 /4 тең болады. Бұл өрнектен түбірді алу бізге биіктік береді. Формуладан көрініп тұрғандай 6. Алым мен бөлгішті екіге көбейтіп, одан кейін алымдардың екеуі түбір белгісінің астына енгізілсе, теңдік белгісі арқылы жазылатын сол формуланың екінші нұсқасын аламыз.
   Айтпақшы, Формула 1-де жақшаларды ашсаңыз, ол Формула 6-ға айналатынын ең ақылдылар көреді. Немесе керісінше, екі санның квадраттарының айырмасы, көбейткіштер, бізге түпнұсқаны береді, бірінші.

Белгілер, олар суреттегі формулаларда қолданылған:

а- үшбұрыштың тең екі қабырғасының біреуінің ұзындығы

б- негізгі ұзындығы

α - табандағы тең екі бұрыштың біреуінің өлшемі

β - үшбұрыштың тең қабырғалары мен табанына қарама-қарсы бұрыштың өлшемі

h- тең қабырғалы үшбұрыштың төбесінен табанына түсірілген биіктіктің ұзындығы

Маңызды. Айнымалы белгілерге назар аударыңыз! Шатаспаңыз α Және β, және де аЖәне б!

Ескерту. Бұл геометриялық есептермен сабақтың бөлігі (тең қабырғалы үшбұрыштың қима ауданы). Міне, шешуі қиын мәселелер. Егер сізге мұнда жоқ геометрия мәселесін шешу керек болса, ол туралы форумда жазыңыз. Есеп шешімдерінде квадрат түбірді шығару әрекетін көрсету үшін √ немесе sqrt() символы қолданылады, радикалды өрнек жақшада көрсетілген..

Тапсырма

1-ші әдіс. Герон формуласын қолданайық. Үшбұрыш тең ​​қабырғалы болғандықтан, ол қарапайым пішінді алады (жоғарыдағы формулалар тізіміндегі 1 формуланы қараңыз):

мұндағы a - жақтардың ұзындығы, ал b - табанының ұзындығы.
Есептің тұжырымындағы үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарының мәндерін ауыстырып, біз мынаны аламыз:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 см 2

2-ші әдіс. Пифагор теоремасын қолданайық
Бірінші шешімде қолданылған формула есімізде жоқ деп есептейік. Сондықтан B төбесінен BK биіктігін АС негізіне түсірейік.
Тең қабырғалы үшбұрыштың биіктігі оның табанын екіге бөлетіндіктен табанының жартысының ұзындығы мынаған тең болады.
АК = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Тең қабырғалы үшбұрыштың табанының жартысы мен қабырғасының биіктігі ABK тікбұрышты үшбұрышын құрайды. Бұл үшбұрышта біз АВ гипотенузасын және AK катетін білеміз. Екінші катеттің ұзындығын Пифагор теоремасы арқылы өрнектейік.

Математика – таңғажайып ғылым. Алайда, мұндай ой оны түсінгенде ғана келеді. Оған жету үшін есептер мен мысалдарды шешу, диаграммалар мен суреттер салу, теоремаларды дәлелдеу керек.

Геометрияны түсінудің жолы есептерді шешу арқылы өтеді. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табу керек тапсырмалар тамаша мысал бола алады.

Тең қабырғалы үшбұрыш дегеніміз не және оның басқалардан айырмашылығы неде?

«Биіктік», «аудан», «негіз», «тең қабырғалы үшбұрыш» және т.б. терминдермен қорқытпау үшін теориялық негіздермен бастау керек.

Алдымен үшбұрыш туралы. Бұл үш нүктеден - төбелерден, өз кезегінде, сегменттермен байланыстырылған жалпақ фигура. Егер олардың екеуі бір-біріне тең болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады. Бұл жақтар бүйірлік деп аталды, ал қалғандары негіз болды.

Тең бүйірлі үшбұрыштың ерекше жағдайы бар, егер үшінші қабырғасы екі бүйір қабырғасына тең болса.

Пішін сипаттары

Олар тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табуды талап ететін есептерді шешуде сенімді көмекшілер болып шығады. Сондықтан оларды білу және есте сақтау қажет.

• Олардың біріншісі: бір қабырғасы табаны болып табылатын тең қабырғалы үшбұрыштың бұрыштары әрқашан бір-біріне тең.
• Қосымша құрылыстар туралы меншік те маңызды. Жұпталмаған жағына түсірілген биіктік, медиана және биссектриса сәйкес келеді.
• Үшбұрыштың табанындағы бұрыштардан сызылған бірдей кесінділер жұпта тең. Бұл көбінесе шешім табуды жеңілдетеді.
• Ондағы екі бірдей бұрыштың мәні әрқашан 90º-тан аз болады.
• Және соңғысы: іштей сызылған және сызылған шеңберлер олардың центрлері үшбұрыштың табанына, демек, медиана мен биссектрисаға биіктікте жататындай етіп салынған.

Есепте тең қабырғалы үшбұрышты қалай тануға болады?

Егер тапсырманы шешу кезінде тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады деген сұрақ туындаса, алдымен оның осы топқа жататынын түсіну керек. Бұған белгілі бір белгілер көмектеседі.

• Үшбұрыштың екі бұрышы немесе екі қабырғасы тең.
• Биссектриса да медиана болып табылады.
• Үшбұрыштың биіктігі медиана немесе биссектриса болып шығады.
• Фигураның екі биіктігі, медианасы немесе биссектрисасы тең.

Қарастырылып отырған формулаларда қабылданған шамалардың белгіленуі

Формулалар арқылы тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табуды жеңілдету үшін оның элементтерін әріптермен ауыстыру енгізілді.

Назар аударыңыз! «А»-ны «А»-мен, «б»-ді «В»-мен шатастырмау маңызды. Бұл әртүрлі мөлшерлер.

Әртүрлі тапсырмаларда қолдануға болатын формулалар

Қабырғаларының ұзындықтары белгілі, сондықтан тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табу керек.

Бұл жағдайда екі мәнді де квадраттау керек. Қабырғасын өзгертуден алынған санды 4-ке көбейтіп, одан екіншісін алып тастаңыз. Алынған айырманың квадрат түбірін алыңыз. Негіздің ұзындығын 4-ке бөліңіз. Екі санды көбейтіңіз. Бұл әрекеттерді әріптермен жазсаңыз, келесі формуланы аласыз:

No 1 астында жазылсын.

Бүйірлік мәндерді пайдаланып тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңыз. Кейбіреулер біріншіден оңайырақ деп есептейтін формула.

Бірінші қадам - ​​негіздің жартысын табу. Содан кейін осы санның қабырғасымен қосындысы мен айырмасын табыңыз. Соңғы екі мәнді көбейтіп, квадрат түбірін алыңыз. Соңғы қадам - ​​бәрін негіздің жартысына көбейту. Сөздік теңдік келесідей болады:

Бұл №2 формула.

Тең қабырғалы үшбұрыштың табаны мен биіктігі белгілі болса, оның ауданын табу тәсілі.

Ең қысқа формулалардың бірі. Онда берілген екі шаманы да көбейтіп, 2-ге бөлу керек. Ол былай жазылады:

Бұл формуланың саны 3.

Тапсырмада үшбұрыштың қабырғалары және табаны мен қабырғасының арасында жатқан бұрыштың мәні белгілі.

Мұнда тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы неге тең болатынын білу үшін формула бірнеше факторлардан тұрады. Біріншісі - бұрыштың синусының мәні. Екіншісі бүйір мен негіздің көбейтіндісіне тең. Үшіншісі - ½ бөлігі. Жалпы математикалық белгілер:

Формуланың реттік нөмірі 4.

Есеп берілген: тең қабырғалы үшбұрыштың бүйір қабырғасы және оның бүйір қабырғаларының арасында жатқан бұрыш.

Алдыңғы жағдайдағыдай аумақ үш факторды пайдалана отырып табылады. Біріншісі шартта көрсетілген бұрыштың синусының мәніне тең. Екіншісі - қабырғасының квадраты. Ал соңғысы да жартыға тең. Нәтижесінде формула келесідей жазылады:

Оның саны 5.

Тең қабырғалы үшбұрыштың табаны мен оған қарама-қарсы бұрышы белгілі болса, оның ауданын табуға мүмкіндік беретін формула.

Алдымен белгілі бұрыштың жартысының тангенсін есептеу керек. Алынған санды 4-ке көбейтіңіз. Бүйірінің ұзындығының квадраты, содан кейін алдыңғы мәнге бөлінеді. Осылайша, біз келесі формуланы аламыз:

Соңғы формула нөмірі 6.

Мәселелердің мысалдары

Бірінші тапсырма: тең қабырғалы үшбұрыштың табаны 10 см, ал биіктігі 5 см болатыны белгілі.

Оны шешу үшін №3 формуланы таңдау қисынды. Ондағы барлығы белгілі. Сандарды енгізіп, есептеңіз. Ауданы 10 * 5 / 2. Яғни, 25 см 2.

Бірінші жол. No1 формула бойынша. Негізді шаршылағанда нәтиже 64, ал қабырғасының төрттік квадраты 100. Екіншіден біріншіні алып тастасақ, нәтиже 36. Бұдан түбір тамаша шығарылады, ол 6-ға тең. Негізді бөлу 4 2-ге тең. Соңғы мән 2 мен 6-ның көбейтіндісі ретінде анықталады, яғни 12. Бұл жауап: қажетті аудан 12 см 2.

Екінші жол. No2 формула бойынша. Негіздің жартысы 4-ке тең.Қабырға мен табылған санның қосындысы 9 береді, олардың айырмасы 1. Көбейткеннен кейін 9 шығады. Квадрат түбірді шығарғанда 3 шығады. Ал соңғы әрекет 3-ті 4-ке көбейткенде. , ол бірдей 12 см 2 береді.

Геометриялық есептерді шешу және тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын қалай табуға болатындығын анықтау арқылы сіз баға жетпес тәжірибе аласыз. Тапсырмалардың әртүрлі нұсқалары неғұрлым көп орындалса, жаңа жағдайда жауап табу оңайырақ болады. Сондықтан барлық тапсырмаларды жүйелі және өз бетінше орындау материалды табысты меңгерудің жолы болып табылады.

үй » Аурулар » Тең қабырғалы үшбұрышты табу формуласы. Үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады (формулалар)